Subgroup bilangan bulat
Kita perhatikan perhatikan himpunan bilangan bulat (integer), yaitu
{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} yang lalu biasa dinotasikan dengan Z. <
huruf Z ini adalah diambil dari singkatan Zahl=bilangan dari Bhs
Jerman>
Diberikan suatu himpunan bagian dari Z, katakanlah himpunan S. Himpunan S disebut subgroup dari Z jika memenuhi :
(i) x+y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S,
(ii) 0 anggota dari S,
(iii) -x anggota dari S untuk setiap x anggota dari S.
< catatan : Kalau pernah
mempelajari tentang teori group, maka syarat-syarat di atas tidak lain
sifat tertutup(i), ada elemen identitas(ii), dan untuk setiap anggota
dari S yang bukan 0 punya invers. Di kasus bilangan bulat ini sifat asosiatif bisa dirunut dg mudah dari sifat tertutup >
Suatu himpunan bagian tak kosong S
dari Z adalah subgroup jika dan hanya jika x - y anggota dari S untuk
setiap x dan y anggota dari S.
Bukti :
S subgroup dari Z ==> x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S
Karena y anggota dari S, maka -y anggota dari S
Karena x dan -y anggota dari S, maka x+(-y)=x-y anggota dari S
x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S ==> S subgroup dari Z
Karena S tak kososng maka ada anggotanya, misalkan x anggota dari S, maka x-x=0 adalah anggota dari S , jadi 0 dan x anggota dari S sehingga 0-x=-x anggota dari S , lalu jika x dan y anggota dari S, sehingga -y anggota dari S, lalu x-(-y)=x+y anggota dari S . Terbukti.
Taruhlah m adalah bilangan bulat, dan kita buat notasi mZ={mn|n anggota Z}. Maka mZ adalah subgroup dari Z.
Teorema I
Jika S adalah saubgroup dari Z, maka S = mZ untuk suatu bilngan
bulat tak negatif m. < dengan kata lain, teorema ini mengatakan
bahwa kalau S adalah subgroup dari Z, maka pasti berbentuk himpunan
kelipatan dari suatu bilangan bulat tak negatif {0,1,2,3,...} >
Bukti :
Kita buat dua kemungkinan, yaitu :
pertama --> jika S = {0}, maka dapat ditulis S=mZ dengan m=0.
kedua --> jika S tidak sama dengan {0}, atau S memuat bilangan bulat
tak nol. Maka tentunya S memuat bilangan bulat positif < karena jika x anggota S maka -x juga anggota S
>. Kita ambil misalnya m adalah bilangan bulat positif yang terkecil
di S. Lalu suatu bilangan bulat positif n di S akan dapat ditulis dalam
bentuk n=qm+r, dimana q adalah suatu bilangan bulat positif dan r suatu
bilangan bulat yang memenuhi 0<=r. Dengan demikian r juga anggota S,
karena r=n-qm. Karena diasumsikan m adalah yang terkecil, maka haruslah
r=0. Jadi n=qm, dengan demikian n anggota mZ, yang berarti S=mZ.
Terbukti.
Teorema tersebut mengatakan bahwa kalau sebuah himpunan yang anggotanya
bilangan-bilangan bulat serta memenuhi tiga aksioma untuk subgroup di
atas, maka tentulah anggota-anggota himpunan tersebut berbentuk
kelipatan dari suatu bilangan bulat positif.
Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi :
Taruhlah a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Faktor persekutuan dari a1,a2,...,ar adalah suatu bilangan bulat yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor persekutuan terbesar dari a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis setiap a1,a2,...,ar. Faktor persekutuan terbesar dari a1,a2,...,ar dinaotasikan dengan (a1,a2,...,ar).
Teorema II
Taruhlah a1,a2,...,ar adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Maka ada bilangan-bilangan bulat sebutlah u1,u2,...,ur sedemikian hingga
(a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur
dimana (a1,a2,...,ar) adalah Faktor Persekutuan Terbesar dari a1,a2,...,ar.
Bukti :
Pembuktian teorema ini, pertama kita harus menunjukkan bahwa suatu himpunan S yang anggota-anggotanya berbentuk n1a1 + n2a2 + . . . +nrar dimana n1, n2,..., nr bilangan-bilangan
bulat merupakan subgroup dari Z dengan menunjukkan terpenuhinya 3
aksioma di atas. Lalu setelah terbukti, maka karena
S subgroup Z, akan berbentuk mZ. Dengan kata lain bahwa setiap anggota S
merupakan kelipatan dari m. Dengan demikian m adalah faktor persekutuan
dari a1,a2,...,ar. Karena FPB adalah faktor persekutuan, maka otomatis ada u1,u2,...,ur sehingga (a1,a2,...,ar)=a1u1 + a2u2 + . . . +arur.